Quantas comissões de 4 elementos podem formar com 20 alunos de uma turma?

Prof. Me. Giancarlo SecciData da publicação: 31.mar.2020.

Seja N um conjunto com n elementos, isto é, N = {a1, a2, ..., an}. Chamamos de combinações dos n elementos, tomados p a p (1 ≤ p ≤ n) a qualquer subconjunto de N constituídos de p elementos.

Para calcularmos o número de combinações de n elementos tomados p a p, com1 ≤ p ≤ n, usamos a relação:

O número de combinações também pode ser representado na forma binomial, conforme abaixo.

Ideia intuitiva de combinação

A combinação de n elementos tomados p a p, se diferenciará do arranjo quando a ordem dos elementos dentro de cada sequência formada não importar. Geralmente nos problemas de combinação aparecerão as seguintes palavras:

• combinação (obviamente);
• grupos ou agrupamentos;
• comissões;
• conjunto ou subconjuntos;
• equipes ou time, etc.

Na maioria dos casos em que a ordem dos elementos não importar estamos diante de um problema de combinação. Se ainda não ficou claro, então acompanhe a situação 1 abaixo.

Uma empresa deseja formar uma comissão de três membros e dispõe de dez funcionários. Quantas comissões podem ser formadas?

Resolução:

Imagine que cada um dos 10 funcionários desta empresa está representado por uma letra de nosso alfabeto, ou seja:

E = {a, b, c, d, e ,f, g, h, i, j}.

Note que, cada comissão que será formada é um subconjunto de três elementos que serão retirados do conjunto E. Por exemplo, podemos formar a comissão {a, b, c}. O fundamental, agora, é você entender que a ordem dos elementos em cada comissão não importará, isto é, as comissões {a, b, c}, {b, a, c} e {c, a b} são iguais. A posição dos elementos em cada comissão não importa e nem gerará novas configurações, quando isso acontece, estamos diante de um problema de combinação.

Neste caso, queremos combinar 10 elementos, tomados 3 a 3, ou seja, n = 10 e p = 3. Então, pela relação da combinação, temos

Portanto, com 10 pessoas podem ser formadas 120 comissões de três pessoas.

Na sala de aula existem 7 cadeiras numeradas de 1 a 7 e desejamos escolher 4 lugares entre os existentes. De quantas formas isso pode ser feito?

Resolução:

Como cada cadeira possui um número de 1 a 7, então essa cadeiras forma o seguinte conjunto:

C = {1, 2, 3, 4, 5 ,6, 7}.

Note que, cada escolha que será feita é um subconjunto de quatro elementos que serão retirados do conjunto C. Por exemplo, podemos escolher as cadeiras {1, 2, 3, 4}. Análogo a situação 1, é fundamental que você entenda que a ordem dos elementos em cada uma das escolhas não importará, isto é, escolher as cadeiras {1, 2, 3, 4}, {4, 3, 2, 1} ou {2, 3, 1, 4} resulta na mesma escolha (é a mesma "coisa"), pois esses subconjuntos são exatamente iguais. A ordem que escolhemos as cadeiras não importa e nem gerará novas configurações, logo, se isso acontece, estamos diante de um problema de combinação.

Neste caso, queremos combinar 7 elementos, tomados 4 a 4, ou seja, n = 7 e p = 4. Então, pela relação da combinação, temos

Portanto, podemos escolher 4 cadeiras dentre 7, de 35 maneiras diferentes.

Você pode resolver um problema de combinação sem utilizar fórmula alguma. Apesar disso, ressaltamos a importância de conhecê-la. Vamos ver como funciona.

Resolução:

No item (a) temos n = 5 e p = 4. Para a resolução, basta desenvolvermos o n, p vezes e desenvolvemos o p em baixo, ou seja, desenvolvemos o cinco (5), quatro (4) vezes e desenvolvemos o 4 até o 1, obtendo:

No item (b) temos n = 6 e p = 2. Para a resolução, basta desenvolvermos o n, p vezes e desenvolvemos o p em baixo, ou seja, desenvolvemos o cinco (6), duas (2) vezes e desenvolvemos o 2 até o 1, obtendo:

No item (c) temos n = 9 e p = 3. Para a resolução, basta desenvolvermos o n, p vezes e desenvolvemos o p em baixo, ou seja, desenvolvemos o cinco (9), três (3) vezes e desenvolvemos o 3 até o 1, obtendo:

Combinações complementares

Uma propriedade muito importante da análise combinatória e que pode simplificar alguns cálculos é a igualdade de combinações complementares. Observe os exemplos:

pois o valor de n = 5 em ambas as combinações e a soma dos p's é igual a n, isto é, 3+2=5.

De modo geral, temos que:

Uma empresa possui 10 funcionários e precisa formar uma comissão com 4 pessoas para representá-la em determinado evento. Quantas comissões diferentes podem ser formadas?

a) 48

b) 120

c) 210

d) 425

e) 608

Há 7 pessoas numa sala. Se todas se cumprimentarem com um aperto de mão, quantos apertos de mão teremos no total?

a) 21

b) 52

c) 113

d) 168

e) 186

Considere uma circunferência, na qual temos marcados 5 pontos distintos. Quantos triângulos diferentes podem ser traçados com vértices nesses pontos?

a) 8

b) 10

c) 12

d) 15

e) 21

Em uma prova de 20 questões, o aluno deve resolver apenas 12. De quantas maneiras diferentes ele poderá escolher essas 12 questões?

a) 20! / 12!

b) 12! / 8!

c) 12! / (8! x 20!)

d) 20! / (8! x 12!)

e) 20! / 8!

Quantas comissões com 5 alunos podemos formar com os 30 alunos de uma classe?

a) 30! / (25! x 5!)

b) 30! / 5!

c) 30! / 25!

d) 30! / (25 + 5)!

e) 30!

Em breve teremos uma seção com as respostas comentadas. Para ver o gabarito, clique no botão abaixo.

Quantos quartetos diferentes podemos formar numa sala de 20 alunos?

Quantas comissões de três elementos podem formar com 20 alunos de uma turma?

Quantas comissões de 8 elementos podemos formar com 20 alunos de uma turma?

Quantas comissões de dois alunos Podemos formar em uma sala com 20 alunos no total?