QUANTIDADE DE NÚMEROS INTEIROS EM UM INTERVALOSe n e p são números naturais com n > p, o número de naturais entre n e p inclusive (isto é, contando também n e p) é igual a n – p + 1. Show
Se no cálculo, incluirmos apenas um dos extremos a quantidade de naturais é n – p. O número de naturais entre n e p exclusive (i.e, excluindo os dois extremos) é igual a n – p – 1. Exemplos: As ideias expostas acima podem ser utilizadas na ordem inversa, Exemplo: Qual o vigésimo número após 15? Temos então que contar 20 números começando em 16, ou seja, sem incluir o 15. Teremos então (x – 15) = 20 donde x = 35. Muitas vezes precisamos contar a quantidade de números numa sequência de múltiplos de k. Deve-se proceder como acima, considerando os números divididos por k. Exemplo: Escrevem-se os múltiplos de 3 desde 33 até 333. Quantos números são escritos? Os números escritos vão de 3 ⋅ 11 até 3 ⋅ 111, logo devemos contar a quantidade de números de 11 a 111 inclusive, isto é, (111 – 11) + 1 = 101 números. Exemplo: Quantos são os múltiplos positivos de 7 menores que 1000? Nesse caso os números vão de 7 ⋅ 1 = 7 até 7 ⋅ 142 = 994, logo devemos contar a quantidade de números de 1 a 142, isto é, (142 – 1) + 1 = 142 números. Outras vezes, é solicitado que se contem a quantidade de algarismos escritos. Para tanto é necessário calcular quantos números são escritos com cada quantidade de algarismos. Exemplo: São escritos os naturais de 1 a 150. Quantos algarismos foram escritos? De 1 a 9 há (9 – 1 + 1) = 9 números de 1 algarismo. A tabela abaixo mostra a quantidade de números inteiros que se pode formar na base 10 com cada quantidade de algarismos. QUANTIDADE DE ALGARISMOS INTERVALO QUANTIDADE DE NÚMEROS1 1 a 9 9 QUANTIDADE DE ALGARISMOS NA SUCESSÃO DE NÚMEROS NATURAISDE 1 A N De 1 a 9 ⇒ 9 números de 1 algarismo cada ⇒ 9 . 1 = 9 algarismos. De 10 a 99 ⇒ 90 números de 2 algarismo cada ⇒ 90 . 2 = 180 algarismos. E assim a ideia continua, veja um exemplo. Exemplo: Quantos algarismos são usados na sucessão de 1 a 333? De 1 a 9 ⇒ 9 números de 1 algarismo cada ⇒ 9 . 1 = 9 algarismos. De 10 a 99 ⇒ 90 números de 2 algarismo cada ⇒ 90 . 2 = 180 algarismos. De 100 a 333 ⇒ (333 – 100 + 1) números de 3 algarismos cada ⇒ 234 . 3 = 702 algarismos. Total: 9 + 180 + 702 = 891 algarismos. Também podemos utilizar a fórmula para o cálculo da quantidade de algarismos. ( ) Onde: MÉTODO DE CONTAGEM DE ALGARISMOSA quantidade de vezes que um algarismo significativo aparece quando contamos de 1 a N pode ser pensada da seguinte forma: De 1 a 9 ⇒ qualquer algarismo aparece apenas 1 vez. ⇒ qualquer algarismo aparece n.10n-1 vezes, 10n-1 vezes em cada ordem. Vamos ver um exemplo: Exemplo: Quantas vezes o algarismo 2 aparece ao escrevermos os números de 1 a 22222? Vamos dividir em algumas partes, primeiro vamos até 9999. Como vimos o 2, como qualquer outro algarismo aparecerá 4.104-1 = 4000 vezes. Agora vamos contar de 10000 a 19999; podemos ver que temos outro intervalo de 10000, assim o algarismo 2 aparecerá mais 4000 vezes. Agora nosso próximo número é o
20000, em que na ordem da dezena de milhar o Daí totalizando 4000 + 4000 + 2223 + 600 + 223 + 40 + 23 + 5 = 11115 CONTAGEM EM BASES DE NUMERAÇÃO NÃO DECIMAISMuitos problemas envolvem a contagem de números ou algarismos em uma base de numeração diferente da base 10. Esses problemas são resolvidos de maneira análoga, bastando atentar para o fato de que muda a quantidade de números de cada quantidade de algarismos. A tabela abaixo mostra a quantidade de números inteiros que se pode formar na base 5 com cada quantidade de algarismos. QUANTIDADE DE ALGARISMOSINTERVALO QUANTIDADE DE NÚMEROS1 15 a 45 (45 2 105 a 445 (445 3 1005 4 10005 5 100005 Vamos usar essas ideias para resolver o seguinte problema do CEFET. Exercício Resolvido 01. (CEFET 1992) Um livro possui 50 páginas. Para numerá-las usando o sistema de base 8 são necessários: Gabarito: B 50 = 628 PRINCÍPIOS DE CONTAGEM PRINCÍPIO ADITIVOSe A e B são dois conjuntos disjuntos, com p e q elementos, respectivamente, então A U B possui p + q elementos. PRINCÍPIO MULTIPLICATIVOSe um evento A pode ocorrer de m maneiras diferentes e, se para cada uma dessas m maneiras possíveis de A ocorrer, um outro evento B pode ocorrer de n maneiras diferentes, então o número de maneiras de ocorrer o evento A seguido do evento B é m.n. ProBizu As palavras “e” e “ou” indicam geralmente quando um ou outro princípio é mais apropriado para a resolução de um problema. A palavra “e” sugere o princípio multiplicativo e a palavra “ou” o princípio aditivo. Vejamos agora alguns exercícios resolvidos: Exercício Resolvido 01. Dispondo das cores verde, amarelo, azul e branco, de quantos modos distintos podemos pintar 7 casas enfileiradas de modo que cada casa seja pintada de uma só cor e duas casas vizinhas não sejam pintadas com a mesma cor? Gabarito: B A primeira casa pode ser pintada de 4 maneiras, a segunda de 3 maneiras (não podemos usar a cor utilizada na primeira casa), a terceira de 3 maneiras (não podemos usar a cor utilizada na segunda casa), e assim sucessivamente, cada casa subsequente pode ser pintada de 3 maneiras (não podendo ser pintada da cor utilizada na casa anterior) logo, as sete casas podem ser pintadas de 4 3 3 3 3 3 3 2916 ××××××= modos distintos. Exercício Resolvido 02. (EN) Entre os dez melhores alunos que frequentam o grêmio de informática da Escola Naval, será escolhido um diretor, um tesoureiro e um secretário. O número de maneiras diferentes que podem ser feitas as escolhas é: a) 720. Exercício Resolvido 03. As antigas placas para automóveis, formadas por duas letras seguidas de quatro algarismos, como, por exemplo MY – 7406 foram substituídas por placas com três letras seguidas de quatro algarismos, como por exemplo DWK – 2179. Utilizando um alfabeto de 26 letras e supondo que qualquer sequência de letras e algarismos seja permitida (na realidade algumas sequências não são permitidas) quantos veículos a mais podem ser emplacados? Gabarito: Exercício Resolvido 04. Quantos números de 4 algarismos possuem todos os seus algarismos distintos entre si? Gabarito: Dividiremos o problema em dois casos: CASO 1: O algarismo 0 foi utilizado Neste caso, o algarismo 0 pode entrar em 3 posições (centenas, dezenas ou unidades). Feito isso, temos 9 possibilidades para o próximo algarismo, depois 8 possibilidades e por último 7 possibilidades. Assim, há 3 9 8 7 1512 ⋅⋅⋅= possibilidades neste caso. CASO 2: O algarismo 0 não foi utilizado Neste caso, temos 9 possibilidades para o algarismo das unidades milhar. Uma vez escolhido este, temos 8 possibilidades para o algarismo das centenas, depois 7 possibilidades para o algarismo das dezenas e por m 6 possibilidades para o algarismo das unidades, totalizando 9 8 7 6 3024 ⋅⋅⋅= números. Exercício Resolvido 05. Camilla tem uma mala que possui uma senha de 5 dígitos. Ela não se lembra da senha, mas lembra que: – se o 1o dígito for par, então o último digito também é par; Gabarito: Seja ABCDE a senha da mala. Assim, temos 5 10 6 1 5 1500 × × ×× = senhas possíveis. CASO 2: A é ímpar CALENDÁRIO 365 1 mod 7 ≡ ( ) Logo, a cada ano de 365 dias, o dia da semana em que Quantas vezes o número 9 aparece de 0 a 100?Segundo ele, duas respostas apresentadas pelo programa estariam corretas: "11" (já que 9x11=99, portanto o nove "cabe" 11 vezes entre 0 e 100) e "20" (pois esse é o número obtido se contados os noves que aparecem em 9, 19, 29, 39, 49, 59... 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99).
Quantas vezes usamos o algarismo 9 quando escrevemos todos os números de 1 a 100?Resposta verificada por especialistas
O algarismo 9 é usado 20 vezes em números entre 1 a 100.
Quantas vezes você usa o algarismo 9?3- Quantas vezes você usa o algarismo 9 para numerar as páginas de um livro de 100 páginas? 4- R: 9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99= 20 algarismos. 5- Quantos quadrados existem na figura abaixo?
Quantas vezes o número 1 e usado de 1 a 99?Então, de 1 a 99, teremos um total de 10 + 9 + 1 = 20 números onde comparecem o algarismo 1.
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