Qual é o polígono cujo número de diagonais é o dobro do número de lá?

Denominamos polígono uma figura formada por segmentos de reta que delimitam uma região. Os polígonos precisam ser figuras fechadas. Observe:

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Qual é o polígono cujo número de diagonais é o dobro de lados?
Qual é o polígono cujo número de diagonais?
Qual o polígono cujo o número de diagonais é o quíntuplo do número de lados?
Qual é o polígono cujo número de diagonais é o quádruplo de números de lado?

Os polígonos possuem os seguintes elementos: vértices, lados, ângulos internos, ângulos externos e diagonais. Dos elementos citados vamos estudar o significado de diagonais e como calcular o número de diagonais de um polígono qualquer.

Denominamos por

diagonal o segmento de reta que une um vértice ao outro. O número de diagonais de um polígono é proporcional ao número de lados.

Note que na figura A temos quatro vértices, então traçamos quatro diagonais, cada uma partindo de um vértice. Mas observe que a diagonal PR é a mesma RP, e a diagonal SQ é a mesma QS, então sempre dividiremos o número de diagonais por 2. Para cálculos envolvendo o número de diagonais, utilizamos a seguinte fórmula:

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A fórmula n indica o número de lados e n – 3 determina o número de diagonais que partem de um único vértice e a divisão por dois elimina a duplicidade de diagonais ocorridas em um polígono.

Exemplo

Determine o número de diagonais de um polígono com:

a) 8 lados (octógono)

O octógono possui 20 diagonais.

b) 12 lados (dodecágono)

O dodecágono possui 54 diagonais.

c) 20 lados (icoságono)

O número de diagonais de um icoságono é igual a 170.

d) 3 lados (triângulo)

O triângulo é o único polígono que não possui diagonais.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Número de Diagonais de um Polígono Convexo "; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numero-diagonais-um-poligono-convexo.htm. Acesso em 21 de dezembro de 2022.

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em que se encontra em duas regiões (a interior e a exterior), sem pontos comuns.
Elementos de um polígono
Um polígono possui os seguintes elementos:
- Lados: Cada um dos segmentos de reta que une vértices cosecutivos: , , , , , .
- Vértices: Ponto de encontro de dois lados consecutivos: A, B, C, D, E.
- Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos: , , , , 
- Ângulos internos: Ângulos formados por dois lados consecutivos: , , , , .
- Ângulos externos: Ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo: , , , , .
Classificação dos polígonos quanto ao número de lados
	Nome
	Número de lados
	Nome
	Número de lados
	triângulo
	3
	quadrilátero
	4
	pentágono
	5
	hexágono
	6
	heptágono
	7
	octógono
	8
	eneágono
	9
	decágono
	10
	hendecágono
	11
	dodecágono
	12
	tridecágono
	13
	tetradecágono
	14
	pentadecágono
	15
	hexadecágono
	16
	heptadecágono
	17
	octodecágono
	18
	eneadecágono
	19
	icoságono
	20
	triacontágono
	30
	tetracontágono
	40
	pentacontágono
	50
	hexacontágono
	60
	heptacontágono
	70
	octacontágono
	80
	eneacontágono
	90
	hectágono
	100
	quilógono
	1000
	googólgono
	10100
Classificação dos polígonos
A classificação dos polígonos pode ser ilustrada pela seguinte árvore:
Um polígono é denominado simples se ele for descrito por uma fronteira simples e que não se cruza (daí divide o plano em uma região interna e externa), caso o contrário é denominado complexo.
Um polígono simples é denominado convexo se não tiver nenhum ângulo interno cuja medida é maior que 180°, caso o contrário é denominado côncavo.
Um polígono convexo é denominado circunscrito a uma circunferência ou polígono circunscrito se todos os vértices pertencerem a uma mesma circunferência.
Um polígono inscritível é denominado regular se todos os seus lados e todos os seus ângulos forem congruentes.
Alguns polígonos regulares:
- triângulo equilátero 
- quadrado 
- pentágono regular 
- hexágono regular 
Propriedades dos polígonos
De cada vértice de um polígono de n lados, saem n - 3 diagonais (dv). 
O número de diagonais (d) de um polígono é dado por , onde n é o número de lados do polígono.
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados (Si) é dada por . 
A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de n lados (Se) é igual a . 
Em um polígono convexo de n lados, o número de triângulos formados por diagonais que saem de cada vértice é dado por n - 2. 
A medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados (ai) é dada por. 
A medida do ângulo externo de um polígono regular de n lados (ae) é dada por .
A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de n lados (Sc) é igual a 360º. 
A medida do ângulo central de um polígono regular de n lados (ac) é dada por. 
Outros polígonos
Alguns polígonos são diferentes dos outros, por apresentarem lados cruzados, são eles:
Estrelado
Polígono formado por corda e ângulos iguais. Pode ser:
Falso: Pela sobreposição de Polígonos
Verdadeiro: Formado por linhas poligonais fechadas não-simples
Entrecruzado
Polígono, cujo prolongamento dos lados, ajuda a formar outro polígono.
Entrelaçado
Formado por faixas de retas paralelas que se entrelaçam
Esboço dos Polígonos citados acima
Ângulos de um Polígono Regular
Polígono Regular: É o polígono que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes. Também, em cada vértice do polígono, a soma das medidas dos ângulos interno e externo é 180°.
Para um polígono de n lados, temos que o ângulo interno (A¡) = 
Exemplos
Hexágono Regular: 6 lados Cálculo da Soma das medidas dos ângulos internos: S¡ = 6-2 . 180° = 4.180° = 720°
Como o Hexágono é regular: A¡ = 720º/6 = 120° Ae = 180º - 120º = 60°
O ângulo interno mede 120° e o externo, 60°.
Para um polígono convexo qualquer de n lados:
Soma dos ângulos Internos
SÎ = (n-2) . 180º
Soma dos ângulos Externos
Sê = 360º
Número de Diagonais
d= n(n-3) / 2
Polígonos regulares
São aqueles que possuem todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes.
Î = (n-2).180º /n ê=360º/n
Î + ê =180º
Exercícios
1. Quanto vale a soma dos ângulos internos de um dodecágono?
2. Qual o polígono que tem soma dos ângulos internos igual a 3240º?
3. Ache o valor de x na figura: 
	
4. Um quadrilátero possui:
a) Quantos vértices?
b) Quantos Lados?
c) Quantos lados internos e externos?
5. De o nome do polígono que possui:
a) 8 lados
b) 5 vértices
6. De o nome do polígono que possui:
a) 3 ângulos externos
b) 22 ângulos internos
7. Qual o número mínimo de lados de um polígono?
8. Determine o número de diagonais do octógono.
9. Determine o polígono cujo número de diagonais é o dobro do número de lados.
10. Quantos ângulos internos possui um decágono? 
Respostas
1) Solução:
n = 12 
	
2) Solução:
3) Solução: 
A soma dos ângulos internos do pentágono é: 
	
	
4) Solução: Um quadrilátero, pelo próprio nome já diz, possui 4 lados. Portanto:
a) 4 vértices
b) 4 lados
c) 4 ângulos internos e externos.
5) Solução:
a) Octógono
b) Pentágono
6) Solução:
a) Triângulo
b) Polígono de 22 lados.
7) Solução:
3 lados.
8) Solução. Um octógono possui 8 lados, ou 8 vértices, logo: n = 8
 
9) Solução:
n número de lados: n
n de diagonais: d = 
Pelo dado do problema: d = 2n
 
Logo, o polígono é o heptágono.
10) Solução:
10 ângulos
Circunferência, Círculo e seus Elementos Respectivos
Equações da circunferência
Equação reduzida
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:
Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:
Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.
Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem (C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2.
 
Equação Geral
 Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.
A equação reduzida da circunferência é:
( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16
Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:
Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral
Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e, assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.
Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:
- Os coeficientes dos termos x2 e y2 devem ser iguais a 1; 
- Não deve existir o termo xy. 
Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0.
Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições.
 Assim:
1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente 
x2 - 6x + _ + y2 + 2y + _ = 6
2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes 
3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos 
( x - 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16
4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio 
Posição de um ponto em relação a uma circunferência
Em relação à circunferência de equação ( x - a )2 + ( y - b )2 = r2, o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:
	a) P é exterior à circunferência 
 
	
	b) P pertence à circunferência 
 
	
	c) P é interior à circunferência

Qual é o polígono cujo número de diagonais é o dobro de lados?

Resposta verificada por especialistas O polígono cujo número de diagonais é igual ao dobro do número de lados é o heptágono regular (7 lados) que possui 14 diagonais.

Qual é o polígono cujo número de diagonais?

É necessário realçar que o triângulo não possui diagonais, e o pentágono é o único polígono, cujo número de diagonais é o mesmo que o número de lados.