Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares e quadrangulares. sabendo que o numero de faces

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Quantas faces tem um poliedro convexo?
Quantas faces tem um poliedro convexo que possui 4 vértices e 6 arestas?
Qual é o número de vértices de um poliedro convexo constituído por quatro faces triangulares e cinco quadrangulares?
Quantos vértices tem um poliedro convexo com 4 faces triangulares?

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Logo, 
º1440)º360.(4º360).26(º360).2(  SSVS . 
d) dodecaedro possui 20 vértices. Logo, 
º6480)º360.(18º360).220(º360).2(  SSVS . 
e) icosaedro possui 12 vértices. Logo, 
º3600)º360.(10º360).212(º360).2(  SSVS . 
 
14) Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais. Quantas têm de 
cada espécie, se a soma dos ângulos das faces é 64 retos? 
 
Solução. Problema semelhante ao número (1). 
 
i) 18162
º360
º5760
2
º5760)º90(64
º360).2(






VV
S
VS
 ii) 
1218228
18
28






F
V
A
 
ii) Considerando “x” o número de faces triangulares e “y” o de faces heptagonais forma-se 
um sistema onde uma das equações envolve o número de arestas em função do número de 
faces. 

























7512
5204
5673
3633
5673
)3(12
28
2
7
2
3
12
x
yy
yx
yx
yx
yx
yx
yx
 
iii) Logo possui 7 faces triangulares e 5 heptagonais. 
15) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 720º. Calcule o número de faces, 
sabendo que é 2/3 do número de arestas? 
Solução. Calculando o número de vértices, temos: 
422
º360
º720
2º360).2(º720  VVV . Pela relação de Euler, A + 2 = V + F. 
Substituindo pelas informações, vem: 
 















4)6(
3
2
6
6122321263.
3
2
42
.
3
2
4
F
A
AAAAAA
AF
V
. 
Logo, F = 4. 
 
16) Um poliedro apresenta faces triangulares e quadrangulares. A soma dos ângulos das faces é 
igual a 2160°. Determine o número de faces de cada espécie desse poliedro, sabendo que ele 
tem 15 arestas. 
 
Solução. Problema semelhante ao número (3). 
 
i) 862
º360
º2160
2
º2160
º360).2(






VV
S
VS
 ii) 
98215
8
15






F
V
A
 
iii) Considerando “x” o número de faces triangulares e “y” o de faces quadrangulares forma-
se um sistema onde uma das equações envolve o número de arestas em função do número de 
faces. 

























639
3
3043
2733
3043
)3(9
15
2
4
2
3
9
x
y
yx
yx
yx
yx
yx
yx
 
 Logo possui 6 faces triangulares e 3 quadrangulares. 
 
17) Da superfície de um poliedro regular de faces pentagonais tiram-se as três faces adjacentes a um 
vértice comum. Calcule o número de arestas, faces e vértices da superfície poliédrica que resta. 
 
Solução. O poliedro em questão é o dodecaedro. Repare que nas 3 faces retiradas, na verdade, 
só são suprimidos 1 vértice e as três arestas internas. A superfície poliédrica restante ainda 
possui os limites com “novas” arestas. 
 
i) O número inicial de faces é 12. O final será 12 – 3 = 9. 
ii) O número inicial de arestas é dado por: 30
2
)12(5
2

nF
A . O final será 30 – 3 = 27. 
ii) O número inicial de vértices é: 20122302  FAV . O final será 20 – 1 = 19. 
 
 
 
 
18) Numa molécula tridimensional de carbono, os átomos ocupam os vértices de um poliedro 
convexo de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais regulares, como em uma bola de 
futebol. Qual é o número de átomos de carbono na molécula? E o número de ligações entre 
esses átomos? 
Solução. O nº de faces é F = 12 + 20 = 32 faces. Logo o número arestas será 
90
2
)20(6)12(5
2



nF
A . O número de vértices é dado por 
60322902  FAV . Logo há 60 átomos ligados entre si por 90 arestas (ligações). 
 
 
19) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares , 1 face 
quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais. 
 
Solução. O número total de faces do poliedro é F = 3 + 1 + 1 + 2 = 7. Calculando o número de 
arestas em função das faces, temos: .15
2
30
2
)2(6)1(5)1(4)3(3
2



nF
A 
Substituindo os valores na relação de Euler vem: 1072152  FAV . Logo há 10 
vértices. 
 
20) Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas 
faces têm esse poliedro? 
 
Solução. Pelas informações, F = V. Utilizando a relação de Euler, temos: 10 + 2 = 2V. Logo V 
= 6. Logo o número de faces é o mesmo. Isto é, há 6 faces. 
 
21) Num poliedro convexo o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. 
Calcule o número de faces desse poliedro? 
Solução. De acordo com as informações, temos:
.826
6
2






FFVV
VA
FVA
 
 
22) Um poliedro convexo apresenta faces quadrangulares e triangulares. Calcule o número de faces 
desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares 
e o número de faces quadrangulares é igual a 5. 
 
Solução. Considerando o número de faces quadrangulares e “y” o de triangulares concluímos, 
de acordo com as informações que A = 4x e y = 5. Temos: 
42053208
2
3
2
)4(5
4
4








yyyyy
y
yA
. Logo há 5 + 4 = 9 faces. 
 
23) Determine o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo formado por 5 ângulos 
triedros, sete ângulos tetraédricos, nove ângulos pentaédricos e oito ângulos hexaédricos. 
 
Solução. Um ângulo triédrico contém um vértice onde concorrem 3 arestas. Da mesma forma 
o tetraédrico contém um vértice onde concorrem 4 arestas, o mesmo ocorrendo com os 
pentaédricos (5 arestas) e hexaédricos (6 arestas). De acordo com a expressão para o total de 
arestas em função do número de arestas que concorrem a um vértice, temos: 
41292682
.68
2
136
2
)6(8)5(9)4(7)3(5
2
298975










FVAFnV
A
V
 
Logo há 29 vértices, 68 arestas e 41 faces. 
 
24) Um poliedro convexo possui 1 ângulo pentaédrico, 10 ângulos tetraédricos, e os demais 
triédricos. Sabendo que o poliedro tem: número de faces triangulares igual ao número de faces 
quadrangulares, 11 faces pentagonais, e no total 21 faces, calcule o número de vértices do 
poliedro convexo. 
 
Solução. Considerando V o número total de vértices e o número de arestas concorrendo a 
cada vértice, temos: 
2
123
2
333405
2
)3)(11()4(10)5(1
2






VVVnV
A . 
Aplicando a relação de Euler sabendo o número de faces e utilizando a expressão do número 
de arestas, vem: 
.2616424224123212
2
123
21
2








VVVV
V
F
FVA
 
 
25) Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares e quadrangulares. Sabendo que o número 
de faces triangulares e quadrangulares são diretamente proporcionais aos números 2 e 3 e que o 
número de arestas é o dobro do número de vértices, calcule o número total de faces desse 
poliedro. 
 
Solução. Considerando “k” a constante de proporcionalidade, podemos escrever: 
- número de faces triangulares = 2k 
- número de faces quadrangulares = 3k 
Como cada face triangular possui 3 arestas e cada face quadrangular possui 4 arestas, o 
número total de arestas é k
kkkknF
A 9
2
126
2
)4(3)3(2
2




 . Aplicando a relação de 
Euler A + 2 = V + F, vem: 
4418191094185
2
9
29
2
9
9
532








kkkkkkk
k
kk
VkA
kkkF
. 
Substituindo o valor de “k” no número de faces, temos: F = 5(k) = 5(4) = 20.

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